Presokratici.cz

ἡ ᾿Αρχύτου εὕρεσις, ὡς Εὔδημος (fr. 90 Speng.) ἱστορεῖ. ῎Εστωσαν αἱ δοθεῖσαι δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΔ, Γ. δεῖ δὴ τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσας ἀνὰ λόγον εὑρεῖν. γεγράφθω περὶ τὴν μείζονα τὴν ΑΔ κύκλος ὁ ΑΒΔΖ, καὶ τῆι Γ ἴση ἐνηρμόσθω ἡ ΑΒ, καὶ ἐκβληθεῖσα συμπιπτέτω τῆι ἀπὸ τοῦ Δ ἐφαπτομένηι τοῦ κύκλου κατὰ τὸ Π. παρὰ δὲ τὴν ΠΔΟ ἤχθω ἡ ΒΕΖ, καὶ νενοήσθω ἡμικυλίνδριον ὀρθὸν ἐπὶ τοῦ ΑΒΔ ἡμικυκλίου, ἐπὶ δὲ τῆς ΑΔ ἡμικύκλιον ὀρθὸν ἐν τῶι τοῦ ἡμικυλινδρίου παραλληλογράμμωι κείμενον, τοῦτο δὴ τὸ ἡμικύκλιον περιαγόμενον ὡς ἀπὸ τοῦ Δ ἐπὶ τὸ Β μένοντος τοῦ Α πέρατος τῆς διαμέτρου τεμεῖ τὴν κυλινδρικὴν ἐπιφάνειαν ἐν τῆι περιαγωγῆι καὶ γράψει ἐν αὐτῆι γραμμήν τινα· πάλιν δέ, ἐὰν τῆς ΑΔ μενούσης τὸ ΑΠΔ τρίγωνον περιενεχθῆι τὴν ἐναντίαν τῶι ἡμικυκλίωι κίνησιν, κωνικὴν ποιήσει ἐπιφάνειαν τῆι ΑΠ εὐθείαι, ἣ δὴ περιαγομένη συμβαλεῖ τῆι κυλινδρικῆι γραμμῆι κατά τι σημεῖον· ἅμα δὲ καὶ τὸ Β περιγράψει ἡμικύκλιον ἐν τῆι τοῦ κώνου ἐπιφανείαι. ἐχέτω δὴ θέσιν κατὰ τὸν τόπον τῆς συμπτώσεως τῶν γραμμῶν τὸ μὲν κινούμενον ἡμικύκλιον ὡς τὴν τοῦ ΔΚΑ, τὸ δὲ ἀντιπεριαγόμενον τρίγωνον τὴν τοῦ ΔΛΑ, τὸ δὲ τῆς εἰρημένης συμπτώσεως σημεῖον ἔστω τὸ Κ. ἔστω δὲ καὶ τὸ διὰ τοῦ Β γραφόμενον ἡμικύκλιον τὸ ΒΜΖ, κοινὴ δὲ αὐτοῦ τομὴ καὶ τοῦ ΒΔΖΑ κύκλου ἔστω ἡ ΒΖ. καὶ ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΔΑ ἡμικυκλίου ἐπίπεδον κάθετος ἤχθω· πεσεῖται δὴ ἐπὶ τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν διὰ τὸ ὀρθὸν ἑστάναι τὸν κύλινδρον. πιπτέτω καὶ ἔστω ἡ ΚΙ, καὶ ἡ ἀπὸ τοῦ Ι ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευχθεῖσα συμβαλέτω τῆι ΒΖ κατὰ τὸ Θ, ἡ δὲ ΑΛ τῶι ΒΜΖ ἡμικυκλίωι κατὰ τὸ Μ. ἐπεζεύχθωσαν δὲ καὶ αἱ ΚΔ, ΜΙ, ΜΘ. ἐπεὶ οὖν ἑκάτερον τῶν ΔΚΑ, ΒΜΖ ἡμικυκλίων ὀρθόν ἐστι πρὸς τὸ ὑποκείμενον ἐπίπεδον, καὶ ἡ κοινὴ ἄρα αὐτῶν τομὴ ἡ ΜΘ πρὸς ὀρθάς ἐστι τῶι τοῦ κύκλου ἐπιπέδωι· ὥστε καὶ πρὸς τὴν ΒΖ ὀρθή ἐστιν ἡ ΜΘ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΒ, ΘΖ, τουτέστι τὸ ὑπὸ ΘΑ, ΘΙ, ἴσον ἐστὶ τῶι ἀπὸ ΜΘ. ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΜΙ τρίγωνον ἑκατέρωι τῶν ΜΙΘ, ΜΑΘ· καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΙΜΑ. ἔστιν δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΚΑ ὀρθή. παράλληλοι ἄρα εἰσὶν αἱ ΚΔ, ΜΙ, καὶ ἔσται ἀνὰ λόγον ὡς ἡ ΔΑ πρὸς ΑΚ, τουτέστιν ἡ ΚΑ πρὸς ΑΙ, οὕτως ἡ ΙΑ πρὸς ΑΜ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν τριγώνων· τέσσαρες ἄρα αἱ ΔΑ, ΑΚ, ΑΙ, ΑΜ ἑξῆς ἀνὰ λόγον εἰσίν. καὶ ἔστιν ἡ ΑΜ ἴση τῆι Γ, ἐπεὶ καὶ τῆι ΑΒ. δύο ἄρα δοθεισῶν τῶν ΑΔ, Γ δύο μέσαι ἀνὰ λόγον ηὕρηνται αἱ ΑΚ, ΑΙ.